Le problème de la montagne

(Dessin à refaire, AB est plus court, BC moins pentu, le triangle n'est pas rectangle)

je crois avoir une idée plus claire du problème de la montagne, maintenant.

La question de base était la suivante:

Un VE se rend d'un point A à un point C à vitesse contante en épuisant complètement sa batterie sur un trajet plat.
Si maintenant le parcours monte du point A au sommet B d'une montagne avant de redescendre vers le point C, il semble qu'il suffise d'atteindre le point B, qui peut être bien en arrière de C pour etre sûr d'arriver en C, qui plus est avec de l'élan qui permettra de continuer au delà de C. Donc la montagne donne l'impression d'introduire un gain alors qu'aucune energie supplémentaire n'est amenée au système.

On voit même qu'en partant d'un sommet on peut atteindre un point aussi éloigné que l'on veut pourvu d'avoir une pente qui va jusquà la destination voulue.
Mais la contrepartie, c'est que plus la destination est lointaine et plus la pente est faible. Si on considère qu'on doit juste combattre la resistance de l'air, une pente faible permettra d'entretenir une vitesse faible qui mènera au but. Si on prend en compte les frottements, la pente doit fournir une puissance au moins egale à la puissance de frottement sinon, le véhicule s'arrete, ce qui signifie qu'il y a en réalité une pente minimale et donc une distance maximale possible.

Mais donc il y a tricherie, car on sait bien que plus on roule lentement, plus on va loin. Si on va aussi lentement sur un terrain plat que dans la faible pente descendante, on fera autant de distance, sinon plus, qu'avec la montagne.

Pour que la montagne apporte un gain, il faudrait qu'elle permette de rouler aussi vite que sur le plat.

Considérons alors le cas de figure suivant simplifié en négligeant les frottements :

Sur un terrain plat, un VE arrive en A avec une vitesse constante établie V (par exemple 50 km/h) et la maintient jusqu'en C où ses batteries sont épuisées. Il continue sur l'élan V jusqu'à un point D

Avec la montagne , on arrive toujours en A avec V et on maintient cette vitesse jusqu'au sommet B où les batteries sont épuisées. On redescend ensuite en C grâce à l'énergie fournie par la pente. Si cette pente est juste assez raide on arrivera à maintenir exactement V en descente, contre la résistance de l'air, on arrivera en C avec cet élan, et on atteindra D comme dans le cas du terrain plat. Si la pente est plus forte, on pourra recupérer le surplus d'énergie qui n'est pas nécessaire pour maintenir V et on arrivera en C avec des batteries partiellement rechargées qui permettront d'ailler plus loin que D. Si elle est plus faible, on n'atteindra même pas V et donc on ne pourra rien récupérer, et on arrivera en C avec un élan plus faible qui forcera à s'arrêter avant D.

Ce que je trouve par les calculs que je vais exposer est que la pente descendante sera toujours trop faible pour maintenir V, et donc au bout du compte le parcours avec montagne ira moins loin que le parcours plat (on n'atteindra pas D).

On commence par le cas simple où le sommet B est exactement à mi-parcours (ABC triangle isocèle). On a interet à ce que B soit le plus haut possible pour que la pente BC soit la plus forte, donc à monter jusqu'à épuisement de la batterie.

On arrive au point A avec une energie E dans les batteries. E est depensée entre A et C pour vaincre la resistance de l'air.
Force resistante F= k.V^2 (le k inclut le SCx)
Puissance resistante P=F.V = k.V^3
Temps de parcours T = AC/V
Energie totale dépensée E=P.T = AC.k.V^2 (1)

Par la suite j'utilise les lettres A, B ,C pour désigner les angles aux sommets A, B, C respectivement

En montagne, pour atteindre le sommet on a depensé E completement, pour d'une part vaincre la resistance de l'air,  ce qui a reclamé AB.k.V^2, et d'autre part augmenter l'energie potentielle du véhicule qui en B vaut M.g.AB.sin(A)
E = AB.k.V^2 + M.g.AB.sin(A)  (2)

en combinant (1) et (2) :
AC.k.V^2  = AB.k.V^2 + M.g.AB.sin(A)

sin(A) = (k.V^2/M.g)(AC/AB  - 1) (3)

On aboutit ainsi à la valeur A maximale de l'angle de la pente montante. On est dans le cas isocèle donc A est aussi l'angle de la pente descendante.
Si on maintient V dans la descente la pente fournira Pp = M.g.V.sin(A). Pour que cela soit réalisable il faut que cette puissance soit égale ou supérieure à la puissance perdue par la résistance de l'air P = k.V^3

Pp >= P donc  M.g.V.sin(A) > = k.V^3
D'où sin(A) >=  (k.V^2/M.g) (4)

Pour cela, la relation (3) montre qu'il faut AC/AB -1 >= 1
C'est dire AC >= 2 AB.
Or la relation de base dans le triangle est justement l'inverse AB + BC = 2AB (isocèle) >= AC.
La relation n'est vérifiée que pour le cas particulier de l'égalité, qui correspond au cas du terrain plat. Pour la montagne, elle est toujours fausse, donc la puissance fournie par la pente est insuffisante pour maintenir V contre la résistance de l'air. On ira donc plus lentement qu'en terrain plat et on n'atteindra pas D.

Si je prend maintenant le cas plus général ou B n'est pas à mi-parcours, mais plus près de C, ce qui a priori donnera une pente BC plus courte mais plus raide.
ABC est maintenant un triangle quelconque.

On peut utiliser la loi des sinus:
AB/sin(C) = BC/sin(A) = AC/sin(B)

l'angle de la pente descendante est C, différent de A en général

On tire sin(C) = (AB/BC).sin(A) = (AB/BC)(AC/AB  - 1)(k.V^2/M.g) = ((AC - AB)/BC) (k.V^2/M.g) (5)

Comme precedement, pour maintenir V, il faut
sin(C) > = k.V^2/M.g

Ce qui d'après (5) demande AC - AB >= BC


Dans le triangle quelconque, il y a la relation classique
BC^2 = AC^2 + AB^2 -2.AB.AC.cos(A)


On remarque que le deuxième membre est assez proche de (AC - AB)^2 qui donnerait AC^2 + AB^2 -2.AB.AC

Mais le terme soustractif est multiplié par un cosinus, qui est forcément <= 1. On soustrait donc moins, par consequent la valeur finale est plus élevée.

Ainsi BC^2 >= (AC -AB)^2 ce qui peut se traduire sans risque par BC >= (AC - AB) car AC > AB (on ne peut parcourir une distance aussi longue dans la montée AB que sur le plat AC car une partie de l'energie disponible doit être investie dans l'energie potentielle du véhicule).

Donc encore une fois on a l'inverse de ce qu'il faut, la pente BC ne pourra fournir la puissance nécessaire pour maintenir V
On ira plus lentement, on ne pourra pas faire de recupération, on aura moins d'élan en C, on n'atteindra pas D.

Bonjour
1) le principe de la conservation de l'energie implique que l'energie potentielle restituee a la descente est egale a celle consommee a la montee.
2) se rajoute l'energie utilisee pour vaincre la resistance de l'air.
Cette energie est minimale pour le circuit direct (en realite minimale pour somme(F.dL)).
cqfd.
Cdlt

il y a un moyen simple pour se rendre compte de l'energie necessaire pour une montée

prenez un velo et faites un trajet quelquonque sur du plat... notez le temps realisé
puis un trajet de meme longueur avec une belle montée suivi d'une descente si possible autant de montée que de descente ... notez a nouveau le temps et comparez

et ca donne aussi la notion de l'effort a fournir lors de la montée

Analyse très intéressante...

C'est en lisant d'ailleurs celle-ci et en se rapprochant du trajet que je souhaitais faire (que finalement je n'ai pas fait hier, mais peut être dans la semaine)...
qu'il serait intéressant de pouvoir calculer en brut le nombre de kilomètres "gagnés" lors de chaque récupération.
Je m'explique : en sus d'avoir la puissance récupérée en KW, on pourrait avoir, en cumulé, le nombre de kilomètres (ou à défaut de mètres) récupérés.
Cette distance de récupération serait ensuite consommée immédiatement dès que la consommation en KW repasse en positif.

CROLLES a écrit:Bonjour
1) le principe de la conservation de l'energie implique que l'energie potentielle restituee a la descente est egale a celle consommee a la montee.
2) se rajoute l'energie utilisee pour vaincre la resistance de l'air.
Cette energie est minimale pour le circuit direct (en realite minimale pour somme(F.dL)).
cqfd.
Cdlt

Tu as raison mais parfois j'aime bien voir un peu plus dans le détail ce qui fait concrètement en sorte que le principe abstrait et général est forcément respecté, surtout quand j'ai l'impression qu'il devrait être possible de le circonvenir, ce qui indique qu'il y a quelque chose que je ne comprends pas bien. Ainsi ici, pourquoi n'est-il pas possible de convevoir un parcours avec des pentes arbitrairement raides permettant d'atteindre des vitesses élevées et de faire de la récupération ? Et en creusant on voit que la necessité de dériver une partie de la ressource vers une augmentation de l'energie potentielle du véhicule raccourcit la distance AB maximale, ce qui tire la position du sommet vers l'arrière et rabaisse la pente maximale de la portion BC en dessous d'une valeur critique.

Dans le même ordre d'idée , quand j'ai fait quelques révisions sur le fonctionnement du moteur synchrone, je suis tombé sur des explications abstraites qui considèrent l'energie electromagnétique entrante, l'energie mécanique sortante et finissent par en déduire un calcul de couple sans jamais avoir vraiment expliqué ce qui physiquement fait tourner le moteur. Moi je prèfère l'approche plus terre à terre qui montre le conducteur electrique placé dans un champ qui est le siège d'une force qui engendre un couple, etc. Là j'ai plus l'impression de toucher du doigt ce qui se passe, même si l'approche abstraite permet certainement de fournir des résultats plus généraux car indépendants de la structure détaillée.

Pareil pour l'emballement des moteurs  à courant continu quand on réduit l'excitation. Ca ne suffit pas de dire que le denominateur de telle fraction tend vers zéro et que donc la vitesse augmente fortement, il faut une explication plus physique que cela pour vraiment saisir.

Fabien a écrit:

C'est en lisant d'ailleurs celle-ci et en se rapprochant du trajet que je souhaitais faire (que finalement je n'ai pas fait hier, mais peut être dans la semaine)...
qu'il serait intéressant de pouvoir calculer en brut le nombre de kilomètres "gagnés" lors de chaque récupération.
Je m'explique : en sus d'avoir la puissance récupérée en KW, on pourrait avoir, en cumulé, le nombre de kilomètres (ou à défaut de mètres) récupérés.
Cette distance de récupération serait ensuite consommée immédiatement dès que la consommation en KW repasse en positif.

Mais est-ce que tu arriveras vraiment à tirer des informations fiables d'une telle indication ? Quand tu descends, au fur et à mesure que la charge rentre elle correspond à une estimation de plus en plus élevée en km pour une charge recupérée donnée à mesure que la pente se prolonge et que le calculateur considère le parcours comme de plus en plus favorable. Il suffit ensuite d'un plat un peu prolongé ou même d'une petite remontée pour que ce gain que tu as avidement thésaurisé fonde comme neige au soleil...

Passant_Mbr a écrit:Moi je prèfère l'approche plus terre à terre qui montre le conducteur electrique placé dans un champ qui est le siège d'une force qui engendre un couple, etc.

Dans un moteur comme celui de la Zoe, le couple n'est pas créé par une force agissant sur les conducteurs, mais par l'interaction des champs magnétiques créés au stator et au rotor. Le champ magnétique est canalisé dans la tôle magnétique; donc mis à part quelques fuites, il y a très peu de champ au niveau des conducteurs; courant et champ magnétique ne sont pas au même endroit dans ce genre de moteur.

Je ne sais plus si j'ai déjà eu l'occasion d'argumenter ce point sur le forum, mais pour moi, physiquement, un champ ne peut pas agir sur un champ, il s'ignorent mutuellement. Ce qui introduit de la confusion, c'est qu'un aimant ou un electro aimant ne se contente pas de produire un champ, ils produit egalement un moment magnétique, qui est physiquement relié à des courants. Le champ de l'un agit sur le moment magnétique de l'autre.
Au plus bas niveau, c'est un effet macroscopique de la force de Lorentz, qui consiste en l'action d'un champ magnétique sur une particule chargée en mouvement, c'est à dire un courant.

J'ai déjà vu cet argument du champ faible au niveau des conducteurs, et j'avoue qu'il me trouble.
D'autant plus que moi on m'a toujours expliqué la chose à partir des forces de Laplace (ou Biot/Ampère), et qu'on arrive au bon resultat, il doit donc y avoir quelque chose de vrai là dessous.
Mais tu fais bien de préciser "pour ce type de moteur" car par example pour les moteurs coreless où il n'y a qu'un bobinage en cuivre sans fer au rotor, les forces générées par les champs agissant sur les courants sont une explication tout à fait cohérente.

Quand il y a du fer, peut être faudrait-il considérer le moment magnétique généré au rotor dans la masse du fer par le bobinage en cuivre qui l'entoure, et considérer que le champ du stator agit sur ce moment.

Passant_Mbr a écrit:Quand il y a du fer, peut être faudrait-il considérer le moment magnétique généré au rotor dans la masse du fer par le bobinage en cuivre qui l'entoure, et considérer que le champ du stator agit sur ce moment.

Oui, c'est bien cela; en fait il y a (à ma connaissance) peu de moteurs utilisant les forces de Lorentz dans la gamme de puissance d'un moteur de VE. Les moteurs sans fer sont plutôt utilisés dans des applications très spéciales, par exemple lorsqu'on veut très peu d'inertie, ou une grande régularité du couple.